В 1988 году Лев Кушнир окончил джазовое отделение ГМУ им. Гнесиных в классе Михаила Окуня. По мнению его педагога, там его музыкальных стиль сформировался окончательно благодаря, с одной стороны, глубокому пониманию гармонии и свинга, а с другой стороны - блестящему таланту импровизатора, что сделало его одним из ведущих джазовых музыкантов России.

Первым ансамблем, в котором Лев смог проявиться, была группа Moscow All Stars Владимира Коновальцева, затем последовала работа в знаменитом "Кадансе" Германа Лукьянова, вместе с которым Лев два года гастролировал по всей стране и по Европе, а также участвовал в концерте Диззи Гиллеспи в Москве.

С 1990 года Лев Кушнир работает как "свободный" музыкант, играет в различных ансамблях с Николаем Пановым, Станиславом Григорьевым, Алексеем Кузнецовым, Александром Ростоцким, Виктором Двоскиным, Сергеем Гурбелошвили и другими. Он также принимает участие в международных проектах с участием американской певицы Деборы Браун, английского саксофониста Билла Скита, легенды американского джаза - гитариста Тэла Фарлоу.

Участвовал во многих джазовых фестивалях в России, а также в Болгарии, Франции, Бельгии, Великобритании, Швеции, Финляндии (в том числе в Пори и Иматре), Нидерландах, Германии и Японии.

В 1991 году по результатам опроса критиков Лев Кушнир был признан лучшим молодым музыкантам года и одним из лучших джазовых пианистов страны. В 1992 году Лев создал свой ансамбль - фортепианное трио, в которое он пригласил барабанщика Евгения Рябого и контрабасиста Виталия Соломонова. Благодаря большому опыту совместного музицирования и чисто человеческим дружеским отношениям, этому трио было нетрудно добиться хорошего свинга, слаженности и взаимопонимания.

Репертуар трио состоит в основном из стандартов, а также пьес басиста Виталия Соломонова. Коллектив много гастролирует в России и за рубежом. В 1994 году на международном фестивале в Минске трио аккомпанировало выступлениям бельгийского трубача Фила Абрахама. В этом же году вышел CD трио Льва Кушнира - "Летучий Голландец", "Soul Eyes", "Единоборство".

В 1997 году трио сопровождало выступления на Московском джазовом фестивале саксофониста Сергея Гурбелошвили и трубача Александра Сипягина, ныне живущих в США.

Лев также участвовал в записи нескольких альбомов с Александром Ростоцким, Виктором Двоскиным и др. (вышли в России и Франции). Ранее многие записи с участием Льва Кушнира выходили на ВФГ "Мелодия" в формате LP.

В настоящее время регулярно играет в московском джазовом клубе "Земля птиц" вместе с его музыкальным директором Александром Ростоцким, участвует в его проекте "Джаз-бас театр", выступает также с сольными концертами.